Топологические бублики

Топологические бублики

// Где поверхность рода пять прячет свои ручки
Авторы: Алексей ВИКТОРОВИЧ Пенской — доктор физико-математических наук, доцент кафедры высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА НИУ ВШЭ.

Поверхности — классические объекты, изучаемые в геометрии. Они бывают разных типов. Без края, например сфера; с краем — северная или южная полусфера (экваториальная окружность является их границей); неограниченная поверхность — бесконечный цилиндр; компактная — ограниченная, та же сфера; а также ориентируемая и неориентируемая.

Что такое ориентируемая поверхность, можно объяснить с помощью странствующего муравья: как бы по ориентируемой поверхности ни путешествовал муравей, он не сможет оказаться в той же точке, откуда начал путь, но с другой стороны. Пример ориентируемой поверхности — сфера. Муравей всегда остаётся или вне, или внутри сферы.

Самый известный пример неориентируемой поверхности — лист Мёбиуса. Ползущий по нему муравей, сделав оборот, окажется в исходной точке, но с другой стороны. Как на гравюре Маурица Эшера «Лента Мёбиуса II» 1963 года.

Топология — раздел математики, в котором изучается неизменяемость свойств сфер и других фигур или пространств при их деформации. Наиболее распространённый пример: бублик — поверхность рода один — можно изменить так, что он превратится в кружку и всё равно останется бубликом. Пожалуй, самое известное в широких кругах достижение в области топологии — это доказательство гипотезы Пуанкаре, которое представил российский математик Григорий Перельман. Стоит, однако, отметить, что гипотезу, над которой сто лет бились математики всего мира, Перельман подтвердил не топологическими методами. Он применил методы дифференциальной геометрии, уравнения в частных производных, геометрический анализ и соображения из области теоретической физики.

Итак, классическая теорема топологии говорит, что все компактные ориентируемые поверхности без края являются на самом деле продеформированными сферами с приклеенными ручками. Тор, знакомая всем поверхность бублика, — это сфера с одной приклеенной ручкой (представьте, что ручка «толстеет», а сфера «худеет» — так и получается тор). Количество ручек называется родом поверхности. Например, сфера — поверхность рода ноль, тор — поверхность рода один. Ещё род можно понимать как количество туннелей в поверхности: в сфере их нет, а в торе есть один (пресловутая дырка от бублика).

Поверхности большого рода кажутся очень сложными объектами, поэтому интересно и удивительно, что иногда их можно описать простыми уравнениями и, как следствие, нарисовать в современных системах компьютерной алгебры.

Некоторое время назад я изучал объекты со страшным для нематематика названием «многообразия уровня интегралов системы Вольтерра с нулевыми граничными условиями». Только без паники! Дальше будут красивые картинки, а математики почти не будет.

Так вот, среди этих объектов оказалась поверхность рода пять, причём её можно задать одним несложным уравнением в трёхмерном пространстве. Я нарисовал эту поверхность на компьютере, чтобы проверить, что нигде не ошибся. Правоту доказывало бы то, что на картинке были бы заметны все пять ручек (или пять туннелей) поверхности. На этих иллюстрациях запечатлён результат.

«И что?» — спросит читатель. Да ничего. Просто красиво! Чтобы понять, чем занимается современная математика, её надо несколько лет серьёзно изучать. Тем не менее красота некоторых математических объектов вполне понятна и нематематикам. Убедиться в этом можно полистав репродукции гравюр Эшера. Он не был учёным, но красоту эту чувствовал очень хорошо.

 

Опубликовано в журнале «Кот Шрёдингера» №4-5 (30-31) за апрель-май 2017 г.

Подписаться на «Кота Шрёдингера»